Limit Fungsi

Limit Fungsi

Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.

Contoh: Perhatikan fungsi

untuk nilai x yang mendekati 1

x	0	0,9	0,95	0,98	…	1,0001	1,0005	1,05	1,1
f(x)	1	1,9	1,95	1,98	…	2,0001	2,0005	2,05	2,1

Gambar grafiknya:

Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:
→  Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2

→  Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2

→  Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2

Teorema:

Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada

Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:

Sifat-Sifat Limit

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

1.         Substitusi langsung
Contoh:


2.         Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
 Contoh:

Ingat:

(a² – b²) = (a – b)(a + b)

(a³ + b³) = (a + b)(a² – ab + b²)

(a³ – b³) = (a – b)(a² + ab + b²)

 3.         Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:


4.         Untuk limit tak terhingga:
→  Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→  Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi
Sifat operasi dengan ∞:

Contoh:


Cara cepat!
→  Untuk bentuk pecahan:

• Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
• Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
• Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:


→  Untuk bentuk
Contoh:


5.         Limit trigonometri:

Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin² ½ ax    (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin² ½ ax (dari rumus cos 2x)
1 – cos²ax = sin²ax            (dari sin²x + cos²x = 1)

Bilangan e

Bilangan e didapat dari:

e = 2,718281828…

Rumus-rumus pengembangannya:

Kontinuitas

Suatu fungsi kontinu di x = a jika:
1.  f(a) ada (dapat dihitung/real)
2. 
3. 

Ilustrasi:

Fungsi

Pengertian

Pasangan terurut
Contoh:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}
Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:
{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Relasi
Relasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentu
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}
Jika ada relasi R dari  A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}
Diagram panahnya:


Fungsi
Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B
A disebut domain (daerah asal)
B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)
Contoh:
Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = D_f = {1, 2, 3, 4}
Range = R_f = {2, 4}

Menentukan Daerah Asal Fungsi

Agar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.
1. Fungsi di dalam akar

2. Fungsi pecahan

3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam bentuk akar

4. Fungsi logaritma

Contoh:
Daerah asal untuk fungsi

adalah:
x² + 3x – 4 > 0
(x + 4)(x – 1) > 0
Pembuat nol: x = –4 dan x = 1
Jika x = 0 maka hasilnya 0² + 3.0 – 4 = –4 (negatif)

Jadi D_f = {x | x < –4 atau x > 1}

Aljabar Fungsi

Jika f : x → f(x) dan g : x → g(x) maka:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3. (f × g)(x) = f(x) × g(x)
4. 

Daerah asalnya:
D_f+g, D_f–g, D_f×_g = D_f ∩ D_g (irisan dari D_f dan D_g)
D_f/g = D_f ∩ D_g dan g(x) ≠ 0

Komposisi fungsi

Notasi:
f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”)
(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)
Ilustrasi:
Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
1. Tidak bersifat komutatif

(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

2. Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh 1:
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2x + 5
h(x) = x² – 1
Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)
=  3(2x + 5) + 2
= 6x + 15 + 2 = 6x + 17
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)
= 2(3x + 2) + 5
= 6x + 4 + 5 = 6x + 9
(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x² – 1))
= f(2(x² – 1) + 5)
= f(2x² – 2 + 5)
= f(2x² + 3)
= 3(2x² + 3) + 2
= 6x² + 9 + 2 = 6x² + 11
atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah diperoleh sebelumnya,
(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x² – 1)
= 6(x² – 1) + 17
= 6x² – 6 + 17
= 6x² + 11

Contoh 2:
f(x) = 3x + 2
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari g(x)!
(f (g(x)) = 6x + 17
3.g(x) + 2 = 6x + 17
3.g(x) = 6x + 17 – 2
3.g(x) = 6x + 15
g(x) = 2x + 5

Contoh 3:
g(x) = 2x + 5
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari f(x)!
f(2x + 5) = 6x + 17
misalkan: 2x + 5 = a → 2x = a – 5
f(a) = 3(a – 5) + 17
f(a) = 3a – 15 + 17
f(a) = 3a + 2
f(x) = 3x + 2

Contoh 4:
f(x) = x² + 2x + 5
(f o g)(x) = 4x² – 8x + 8
Cari g(x)!
f(g(x)) = 4x² – 8x + 8
(g(x))² + 2g(x) + 5 = 4x² – 8x + 8
Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna
(g(x) + 1)² – 1 + 5 = 4x² – 8x + 8
(g(x) + 1)² = 4x² – 8x + 8 – 4
(g(x) + 1)² = 4x² – 8x + 4
(g(x) + 1)² = (2x – 2)²
g(x) + 1 = 2x – 2 atau g(x) + 1 = –(2x – 2)
g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3
atau
f(g(x)) = 4x² – 8x + 8
(g(x))² + 2g(x) + 5 = 4x² – 8x + 8
Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan  g(x) = ax + b
(ax + b)² + 2(ax + b) + 5 = 4x² – 8x + 8
a²x² + 2abx + b² + 2ax + 2ab + 5 = 4x² – 8x + 8
a²x² + (2ab + 2a)x + (b² + 2ab + 5) = 4x² – 8x + 8
Samakan koefisien x² di ruas kiri dan kanan:
a² = 4 → a = 2 atau a = –2
samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:
untuk a = 2 → 2ab + 2a = –8
4b + 4 = –8
4b = –12 → b = –3
untuk a = –2  → 2ab + 2a = –8
–4b + 4 = –8
–4b = –12 → b = 3
Jadi g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3

Invers Fungsi

Notasi
Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f^–1 (x)

Ilustrasi
Contoh: Jika f(2) = 1 maka f^–1(1) =2
Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x
Sifat-Sifat Invers Fungsi:

1. (f^–1)^–1(x) = f(x)
2. (f o f^–1)(x) = (f^–1 o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas
3. (f o g)^–1(x) = (g^–1 o f^–1)(x)

Ingat: (f o g^–1)(x) ¹ (f o g)^–1(x)

Mencari invers fungsi

1. Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)
2. Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f^–1(y)
3. Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f^–1(x), yang merupakan invers fungsi dari f

Contoh 1:
f(x) = 3x – 2
invers fungsinya:


Contoh 2:

Cara Cepat!


Contoh 3:
f(x) = x² – 3x + 4
Invers fungsinya


Contoh 4:

Jaring-Jaring Bangun Ruang

Jaring-Jaring Bangun Ruang - Tahukah kalian apabila sebuah bangun ruang kita belah kemudian masing-masing sisinya kita gambarkan mendatar maka akan menghasilkan gambar yang disebut dengan jaring-jaring bangun ruang. Setiap bangun ruang tentu akan memiliki bentuk jaring-jaring yang berbeda bergantung kepada bentuk dari sisi-sisi yang ada pada bangun ruang tersebut. Nah, di sini saya akan memberikan sedikit penjelasan mengenai jaring-jaring bangun ruang kemudian juga akan disertakan gambarnya untuk masing-masing bangun ruang mulai dari kubus, balok, tabung, kerucut, prisma, dan juga limas. Yuk mari sama-sama kita lihat materinya!

Kumpulan Gambar Jaring-Jaring Bangun Ruang Lengkap

Kubus

Kubus merupakan sebuah bangun ruang yang terbentuk oleh enam buah sisi yang saling berbatasan dimana tiap sisi tersebut berbentuk persegi dengan ukuran yang sama besar. Sehingga apabila kita membelah sebuah kubus kemudian meletakkannya pada posisi mendatar akan diperoleh jaring-jaring kubus yang merupakan susunan dari enam buah persegi seperti terlihat pada gambar di bawah ini:

Balok

Sama halnya seperti kubus, balok juga terdiri dari enam buah sisi akan tetapi ukuran sisi pada balok berbeda. Ada 3 pasang sisi yang memiliki ukuran sama. Sehingga jika digambarkan, jaring-jaring dari sebuah balok akan menjadi seperti ini:

Prisma Segitiga

Berbeda dengan balok dan kubus, pada bangun ruang prisma segitiga ada dua buah sisi yang bentuknya berupa segitiga. Sehingga apabila digambarkan secara mendatar, jaring-jaring pada prisma segitiga akan terdiri dari dua buah segitiga dan tiga buah persegi atau persegi panjang.

Prisma Segi Lima

Untuk jaring-jaring prisma segilima, jumlah persegi atau persegi panjang  yang muncul pada gambar akan lebih banyak. Jaring-jaringnya dibentuk oleh sebuah segilima dan lima buah persegi ataupun persegi panjang yang berderet.

Prisma Segi Enam

hampir sama dengan prisma segilima, hanya saja jaring-jaringnya akan terdiri dari satu buah bangun datar bersegi lima dan enam buah persegi atau persegi panjang yang berjajar. ini dia gambarnya:

Tabung

Untuk bangun ruang tabung gambar jaring-jaringnya cukup sederhana karena tabung hanya terdiri dari dua buah lingkaran yang sama besar sebagai tutup dan alasnya serta sebuah selimut yang jika dipotong akan membentuk sebuah persegi panjang. Gambar jaring-jaring tabung adalah sebagai berikut:

Kerucut

Kerucut memiliki jaring-jaring yang lebih sederhana lagi. Hanya terdiri ari sebuah segitiga yang memiliki alas berbentuk lengkungan, kemudian pada bagian bawah terdapat sebuah lingkaran yang menjadi alas kerucut. Berikut gambar jaring-jaring kerucut:

Limas Segitiga

Karena limas segitiga dibentuk oleh empat buah sisi yang semuanya berbentuk segitiga, maka jaring-jaringnya akan terdiri dari empat buah segitiga seperti pada gambar berikut ini:

Limas Segi Empat

Berbeda dengan limas segitiga, untuk limas segi empat, gambar jaring-jaringnya berupa sebuah persegi atau persegi panjang  yang pada tiap sisinya berbatasan dengan sisi berbentuk segitiga seperti terlihat pada gambar ini:

Limas Segi Lima

limas segilima terbentuk oleh sebuah alas berbentuk segilima dimana pada tiap-tiap sisinya berbatasan dengan 5 buah segitiga. maka jaring-jaring dari bangun ruang limas segilima akan tampak seperti sebuah bintang.

Bola

Untuk bagun ruang bola kita tidak bisa membuat jaring-jaringnya karena bentuk lenngkung 3 dimensi pada bola tidak dapat diubah ke dalam bentuk datar atau bentuk 2 dimensi secara sempurna, maka tidak ada gambar jaring-jaring untuk bangun ruang bola.